Khối đa diện đều và bán đều trong thiết kế kiến trúc

1. Mở đầu

Sự hấp dẫn của kỹ thuật với các cấu trúc giản đơn thể hiện trong quá trình thẩm mỹ hoá ngày càng gia tăng. Các dáng vẻ hình học đơn giản được coi là các đáp ứng tốt nhất phương thức sản xuất công nghiệp hàng loạt. Việc nghiên cứu và ứng dụng các khối đa diện để tạo ra các các hình thái không gian kiến trúc  là một xu hướng tất yếu

Và xu hướng trong thiết kế các công trình kiến trúc hiện đại là làm sao tạo được những không gian vượt nhịp lớn, những hình khối kiến trúc đơn giản nhưng mang tính biểu tượng cao. Chính vì thế việc ứng dụng các khối đa diện đều và bán đều vào công tác thiết kế, thi công những công trình kiến trúc tại Việt Nam là rất cần thiết và đáng được quan tâm.

Không gò bó về đường nét, đáp ứng được sự sáng tạo về mặt kiến trúc của các kỹ sư thiết kế, có thể kết cấu các kiểu nhà có hình dạng phức tạp mà không cần cột là một trong nhiều ưu điểm của những giàn mái không gian xuất hiện ngày càng nhiều trong quần thể kiến trúc đa dạng ở nước ta hiện nay.

2. Tìm hiểu về khối đa diện đều và bán đều

Một mặt đa diện được tạo nên bởi nhiều đa giác phẳng ghép lại, phần vật thể nằm trong mặt đa diện gọi là khối đa diện; mỗi cạnh của đa diện cũng là cạnh của hai đa giác liền kề. Có đa diện lồi và đa diện lõm.

Ta chỉ xét trường hợp cho đa diện lồi. Một lớp quan trọng của các đa diện lồi mà các nhà kiến trúc hay sử dụng để tạo nên vỏ bọc các công trình là các lớp đa diện đều.

Khối đa diện đều (Platon):

Khái Niệm:

Đa diện đều có các mặt là các đa giác đều bằng nhau, các góc đa diện bằng nhau.

Ta gọi một đa diện đều là một khối, có các cạnh bằng nhau, các mắt của khối là giống nhau.

Tính chất & phân loại:

+ Các khối đa diện đều có tính chất là:

– Có thể ngoại tiếp mỗi đa diện đều bằng một mặt cầu, cũng như có thể nội tiếp     trong mỗi đa diện đều một mặt cầu.

– Tất cả các mặt của nó là các đa giác đều, bằng nhau

– Các mặt không cắt nhau ngoài các cạnh

– Mỗi đỉnh là giao của một số mặt như nhau (cũng là giao của số cạnh như nhau).

+ Các đa diện platon được phân thành 2 nhóm:

Các đa diện các mặt bên là các tam giác ký hiệu D: hệ thanh.

Các đa diện mà các đỉnh có ba cạnh đồng quy ký hiệu Y: hệ vỏ.

Các đa diện dùng để tạo nên các kết cấu trong xây dựng, kiến trúc là những vật thể bằng những loại vật liệu nhất định. Ta cần xem xét kết cấu đa diện nào không bị biến dạng khi có lực tác dụng vào.

Như trên người ta phân ra 2 loại kết cấu đa diện: hệ thanh và hệ vỏ.

Hệ thanh: gồm các thanh cứng được liên kết với nhau bằng các khớp cầu (nút), lực sẽ được truyền dọc theo các thanh. Thí nghiệm cho thấy các đa diện mà các mặt bên là các tam giác (D) không bị biến dạng, đó là 3 mặt: tứ diện, bát diện, nhị thập diện.

Hệ vỏ: các đa diện có các đỉnh có 3 cạnh đồng quy, đó là các mặt: tứ diện, lập phương, thập nhị diện.

Ta nhận xét mặt tứ diện vừa thuộc hệ thanh (vì có các mặt D) vừa thuộc hệ vỏ (vì có đỉnh Y) đó là các platon chính yếu.

+ Một kết quả cổ điển là chỉ có đúng năm khối đa diện đều lồi:

– Chứng minh bằng hình học:

Các mệnh đề hình học sau được biết từ Euclid trong tác phẩm Elements:

Mỗi đỉnh của khối đa diện phải là giao của ít nhất ba mặt.

Tại mỗi đỉnh của khối đa diện, tổng các góc của các mặt phải nhỏ hơn 360°.

Các góc tại tất cả các đỉnh của khối đa diện đều là bằng nhau do đó mỗi góc phải nhỏ hơn 360°/3=120°.

Các đa giác đều có từ sáu cạnh trở lên có góc là 120° trở lên nên không thể là mặt của khối đa diện đều, do đó mối mặt của khối đa diện đều chỉ có thể là các tam giác đều, hình vuông hoặc ngũ giác đều. Cụ thể:

Các mặt là tam giác đều: góc ở mỗi đỉnh của tam giác đều là 60°, do đó tại mỗi đỉnh chỉ có 3, 4, hoặc 5 góc của tam giác; tương ứng ta có các tứ diện đều, khối tám mặt đều và khối hai mươi mặt đều.

Các mặt là hình vuông góc ở đỉnh hình vuông là 90°, do đó chỉ có thể có ba mặt tại mỗi đỉnh ta có khối lập phương.

Các mặt là ngũ giác đều mỗi góc ở đỉnh là 108°; do đó chỉ có thể có đúng ba mặt tại một đỉnh, khi đo ta có khối mười hai mặt đều.

– Chứng minh bằng topo:

Một chứng minh khá đơn giản bằng topo dựa vào các thông tin về khối đa diện. Chìa khóa của chứng minh là công thức Euler V − E + F = 2, và các quan hệ pF = 2E = qV. ( V=D;E=C;F=M;p=r;q=n) Từ các đẳng thức này :

Một biến đổi đại số đơn giản cho ta

Vì E là số dương ta phải có

Dựa vào việc cả p và q ít nhất là 3, dễ dàng có năm cặp có thể của {p, q}:

Các loại đa diện đều:

Có 5 loại đa diện đều (đa diện platon).

Tên tiếng việt	Tên tiếng Anh	Số mặt(m)	Số cạnh ( c )	Số đỉnh ( d )
Tứ diện	Tetrahedron	4	6	4
Khối lập phương (lục diện)	Hexahedron	6	12	8
Khối tám mặt (Bát diện)	Octahedron	6	12	6
Khối 12 mặt (Thập nhị diện)	Docdecahedron	12	30	20
Khối 20 mặt (nhị thập diện)	Icosahedron	20	30	12

2.1.4. Giải khối đa diện đều:

2.2 Khối đa diện bán đều (Archimède).

2.2.1. Khái niệm :

Một đa diện bán đều là một khối có các cạnh bằng nhau, còn các mặt của khối có tại một đỉnh gồm hơn hai loại mặt đa giác trở lên, được tổ chức theo một quy luật nhất định.

Các loại đa diện bán đều:

Trong 13 đa diện bán đều, có 7 đa diện có thể suy ra từ 5 đa diện đều (platon) bằng cách cắt cụt các đỉnh một cách thích hợp.

Có 13 loại đa diện bán đều:

Trong 13 đa diện bán đều, có 7 đa diện có thể suy ra từ 5 đa diện đều (platon) bằng cách cắt cụt các đỉnh một cách thích hợp.

Quá trình cắt các đỉnh phải tính toán cắt sâu, nông để các mặt mới xuất hiện lại là các đa giác đều và các cạnh của chúng đều bằng nhau.

Ví dụ:

Mặt tứ diện bị cắt cụt ở 4 đỉnh cho ta một mặt tứ diện cụt gọi tắt là Tétrac cụt. Nó gồm 4 mặt lục giác đều và bốn mặt tam giác đều.

Mặt bát diện mà các đỉnh bị cắt cụt sẽ cho ta mặt bát diện cụt (Octa cụt) nó gồm 8 hình lục giác đều và 6 hình vuông. Các hình này có các cạnh đều bằng nhau.

2.3 Các cách gọi tên khối đa diện:

Cách gọi tên theo đỉnh: Nghĩa là hiểu cấu tạo của một đỉnh gồm các mặt tham tạo nên.

Ví dụ:

Khối lập phương có tên gọi theo đỉnh là 4.4.4 (Hình 2.3a) nghĩa là một đỉnh bất kỳ của khối lập phương đều có 3 mặt tham tạo (chú ý số chữ xuất hiện là 3) các mặt này, mỗi mặt đều có 4 cạnh bằng nhau (giá trị của mỗi con số là 4).

Ta lấy ví dụ khác: Khối phức tạp hơn 3.4.3.4 (Hình 2.3b) đây là một đa diện bán đều có cấu tạo các đỉnh giống nhau, mỗi đỉnh sẽ có bốn đỉnh tham tạo (và số chữ là 4). Mặt đầu tiên là một tam giác 3 cạnh, mặt tiếp theo là một tứ giác 4 cạnh, mặt tiếp theo là một tam giác 3 cạnh, mặt cuối cùng là một tứ giác 4 cạnh. Ta có thể rút ra điều này:

Số chữ xuất hiện theo một tên gọi là số mặt tham tạo tại một đỉnh của đa diện.

Giá trị của mỗi chữ số là số cạnh của các mặt đó.

(theo cách gọi này ta sẽ có các khối đa diện bán đều cấu tạo các đỉnh giống nhau, các mặt khác nhau)

Cách gọi tên theo mặt:

Nghĩa là hiểu theo cấu tạo mỗi mặt và các đỉnh xung quanh mặt đó.

Ví dụ:

Khối lập phương được hiểu theo cách này là 3.3.3.3 đây là một khối đa diện có các mặt giống nhau, đều có 4 cạnh (số chữ xuất hiện là 4) đỉnh thứ nhất của tứ giác sẽ có 3 cạnh gặp nhau, đỉnh thứ hai, thứ ba, thứ tư của tứ giác củng có 3 cạnh gặp nhau.

Tóm lại theo cách gọi này:

Số chữ số là số đỉnh (hay số cạnh của mỗi mặt)

Giá trị của mỗi chữ số là số cạnh tham tạo tại mỗi đỉnh.

3. Công thức tính toán

 Phương trình Euler (Khối đa diện đều):       M + D = C + 2

Hệ thức:

Trong đó:

M là tổng số mặt.

D là tổng số đỉnh

C là tổng số cạnh

n là số cạnh trong một mặt

r là số cạnh trong một đỉnh

Phương trình Euler (Khối đa diện bán đều): M’ + Đ’ = C’+ 2

Nếu cắt các đỉnh, ta có các đa diện bán đều Archimède. Một câu hỏi đặt ra là: khi đó chúng còn thoả mãn công thức Euler nửa không? Nếu ta lần lượt gọi các mặt, đỉnh, cạnh cho các đa diện cụt Archimède lần lượt là :

M’: số mặt

Đ’: số đỉnh

C’: số cạnh

Ta nhận xét: số các mặt trong đa diện mới bằng số mặt của đa diện cũ (chưa cắt) cộng thêm số mặt mới bằng số đỉnh của đa diện cũ.

M’ = M + Đ                                      (1)

Số đỉnh của đa diện mới bằng:                    Đ’ = 2C                                   (2)

(vì cứ 2 đỉnh mới nằm trên 1 cạnh cũ)

– Số cạnh của đa diện mới gồm 1 phần là số cạnh thuộc đa diện cũ và một phần số cạnh gồm các cạnh nối 2 cạnh đa diện cũ, do đó: C’ = C + 2C = 3C                  (3)

Từ (1) và (2) tổng hợp lại ta có:       Đ’ + M’ = 2C + M + Đ                     (4)

Nhưng theo cũ:                                    M + D = C + 2

Thay vào (4), ta có:                              M’ + Đ’ = 2C + C + 2

Theo (3), ta có:                                      M’ + Đ’ = C’ + 2

Đó là công thức Euler cho đa diện đã cắt cụt các đỉnh.

Vậy đối với các đa diện Archimède, công thức Euler vẫn có giá trị.

Lấy ví dụ:

Mặt cubocta gồm 6 hình vuông,

8 tam giác, 12 đỉnh và 24 cạnh:

12 + (6 + 8) = 24 + 2

26 = 26

4. Ứng dụng và tính toán số lượng các thanh trong giàn lưới không gian được cấu tạo từ các khối đa diện

4.1. Ứng dụng

4.1.1. Công trình nước ngoài ứng dụng tính toán các khối đa diện vào thiết kế kiến trúc

Kết quả nghiên cứu của đề tài nhằm đưa vào ứng dụng thực tế, trong đó nổi bật là ứng dụng để chế tạo mái cho các công trình thể thao, kết cấu giàn mái của Nhà thi đấu, lối vào các công trình.

Gian triển lãm Mỹ tại khu Expo 67 nay là Quả cầu sinh học, trên đảo Sainte-Hélène, Montréal, sử dụng kết cấu vòm trắc đạc của Fuller

4.1.2 Công trình trong nước ứng dụng tính toán các khối đa diện đều vào thiết kế kiến trúc

Công trình Trung tâm hội chợ triễn lãm ở giai đoạn hoàn thiện ở Đà Nẵng

Cổng chính Trung tâm hội chợ triển lãm ở Đà nẵng

Kết cấu mái nhà Xe – Siêu thị Metro Đà Nẵng

Mái Nhà Thi đấu ở Huế

4.2. Tính toán

4.2.1. Tính toán số lượng các thanh để chế tạo giàn lưới không gian

Theo các mục ở trên, chúng ta đã biết công thức Đ + M = C +2  (*) dùng cho các khối đa diện nhiều mặt không có lỗ thủng. Và công thức này vẫn dùng được cho các khối khác khi chúng ta thực hiện phép biến hình topo để chuyển khối này qua khối khác . Thực vậy với hình khối chữ nhật dẹt như bên dưới thì ta có Đ = 8, M = 6, C = 12, theo (*) thì 8 + 6 = 12 + 2. Bây giờ ta cắt đôi khối chữ nhật dẹt bằng mặt phẳng chéo ( mặt phẳng chứa hai cạnh đối diện ) tương tự như trên ta có Đ = 6, M = 5 và C = 9 , theo (*) 6 + 5 = 9 + 2.

Với khối bánh ú bên dưới ta cũng có kết quả tương tự 4 + 4 = 6 + 2, nếo có 2 khối bánh ú tương tự như vậy được ghép hai mặt như nhau thì vãn có kết quả tương tự là 5 + 6 = 9 + 2.

Bây giờ chúng ta xem công thức  (*) được sử dụng trong mặt phẳng như thế nào. Giả sử chúng ta lấy khối lập phương C = 12 làm ví dụ và xem bề mặt của khối đa diện là một lớp màng cao su tự co giãn ( xem hình bên dưới).

Sau đó trên một mặt của màng cao su đục một lỗ (hình a), chúng ta chọc tay vào và kéo giãn ra qung quanh, trải thành một mặt phẳng. Hình bên dưới thể hiện quá trình trải bề mặt của khối lập phương. (Hình b) sau khi trải  phẳng có đường viền của lỗ thủng không gọn gàng, ta có thể sửa gọn gàng như (hình c) và đây được gọi là topo phẳng của khối lập phương cũng có C = 12.

Các khối đa diện khác khối lập phương cũng có thể thu được một hình topo phẳng tương ứng một cách tương tự. Từ đó chuyển vấn đề bề mặt khối đa diện thành vấn đề trên mặt phẳng để giải quyết. Có nghĩa công thức (*) vẫn hoàn toàn đúng trên mặt phẳng.

4.2.2 Các ví dụ minh hoạ tính toán số lượng thanh 1 số giàn lưới không gian :

Ví dụ 1 :

Hình 4.2.a – Ví dụ 1 : Phối cảnh một giàn lưới không gian được cấu tạo từ các tinh thể là khối tứ diện đều

Giàn lưới không gian này được chuyển về mặt phẳng như hình 4.2b, dễ dàng ta thấy Đ = 19, M = 28, và dùng công thức (*) suy ra C = Đ + M – 2 = 19 + 28 – 2 = 45 ( thanh ).

Hình 4.2b :  Giàn lưới không gian trên mặt phẳng được cấu tạo từ các tinh thể là khối tứ diện đều

Ví dụ 2 :

Giàn lưới không gian trong ví dụ 2 được chuyển về mặt phẳng như hình 4.2d, tương tự như ví dụ 1, ta thấy Đ = 25, M = 33, C = Đ +  M – 2 = 56 ( thanh )

Hình 4.2c –  Ví dụ 2 :Phối cảnh Giàn lưới không gian được cấu tạo từ 1/2 khối bát diện đều và được bố trí nghiên 45o

Hình 4.2d :  Giàn lưới không gian trên mặt phẳng  được cấu tạo từ 1/2 khối bát diện đều được bố trí nghiêng 45o

Ví dụ 3 :

Hình 4.2e – Ví dụ 3 : Giàn lưới không gian được cấu tạo từ 1/2 khối bát diện đều và được bố trí song song

Giàn lưới không gian trong ví dụ 3  được chuyển về mặt phẳng như hình 4.2g, tương tự như ví dụ 2, ta thấy Đ = 18, M = 25, C = Đ +  M – 2 = 41 ( thanh )

Hình 4.2g :  Giàn lưới không gian trên mặt phẳng  được cấu tạo từ 1/2 khối bát diện đều được bố trí song song

5. Kết luận

Nội dung bài viết góp một phần vào việc tính toán thuần túy số lượng các thành phần cấu kiện tổ hợp một số giàn không gian đơn giản

Kết cấu giàn không gian chủ yếu được sử dụng cho các công trình nhịp lớn, quan trọng. Do vậy, yêu cầu sản phẩm giàn lưới phải đảm bảo độ chính xác cao nhằm bảo đảm an toàn cho công trình, phải có chất lượng và đồng thời có tính thẩm mỹ cao.

Công nghệ chế tạo giàn mái không gian giờ đây đã được chuyển giao vào Việt Nam và các doanh nghiệp trong nước hoàn toàn có thể sản xuất được. Giàn mái không gian giải toả được nỗi bức xúc của các kiến trúc sư, đáp ứng được sự sáng tạo về mặt kiến trúc của họ cho các công trình văn hoá thể thao và tiến tới có thể thay thế được các giàn mái không gian nhịp lớn. So với giàn thép bình thường, giàn không gian kết cấu đẹp; các KTS có thể kết cấu các kiểu nhà có hình dạng phức tạp mà không cần cột. Mặc dù vậy, nhiều nhà thầu cho rằng, để kiểm tra và đánh giá nhanh chất lượng công trình, các cơ quan chức năng cần xây dựng bộ tiêu chuẩn về chất lượng giàn mái không gian sao cho phù hợp, để giúp cho việc kiểm tra, giám sát chất lượng công trình tốt hơn. “Hầu hết các vật liệu sản xuất giàn không gian đều phải nhập ngoại, phụ thuộc hoàn toàn vào nước ngoài. Tiêu chuẩn các loại thép kết cấu Việt Nam có, nhưng chưa sản xuất được. Nhiều công trình đòi hỏi vật liệu thiết kế được nhà thầu đề ra không nhập được nên phải từ bỏ. Doanh nghiệp xây dựng rất mong Bộ Xây dựng và Nhà nước sớm ban hành tiêu chuẩn cụ thể về quy các thực tế, tiêu chuẩn nghiệm thu để cho các nhà thầu, các cán bộ kỹ thuật có cơ sở để thực hiện công tác quản lý xây dựng đúng theo quy định của Nhà nước.

KTS. Nguyễn Ngọc Bình